miércoles, 30 de junio de 2010

Resolución de circuitos por kirchhoff.

En muchas ocasiones dada la complejidad de ciertos circuitos eléctrico-electrónicos no es posible resolverlos mediante las fórmulas sencillas y conexiones serie, paralelo o mixto, para ello disponemos de ciertos teoremas como pueden ser las leyes de Kirchhoff, teorema de Thévenin, Norton, teorema de la superposición, las mallas de Maxwell, Millman, Kennelly (las asociaciones de resistencias y Kennelly lo puse en la entrada http://electricidad-viatger.blogspot.com/2008/08/asociacin-de-resistencias.html ), etc.

Todos los teoremas son importantes, aunque creo que los más importantes de cara al electricista son Kirchhoff, Thévenin, Kennelly (sobre todo para sistemas trifásicos).
Así pues comenzaremos con Kirchhoff, pero primero unas definiciones imprescindibles:

- Nudo o nodo: Punto de un circuito donde se unen más de un conductor. En el esquema inferior los nudos o nodos correspondería a las letras A, B, C, y D.

- Rama: Es el conjunto de todos los elementos de un circuito comprendido entre dos nudos consecutivos así las ramas existentes serían: AB, BD, BC, AD, DC y AC.

- Malla: Conjunto de todas las ramas que forman un camino cerrado en un circuito y que no puede subdividirse en otros, ni pasar dos veces por la misma rama. En el circuito inferior podemos apreciar tres ramas: ABDA, DBCD y ADCA.



Ahora ya podemos abordar las leyes de Kirchhoff:

• La ley de los nudos: la suma de las corrientes que entran en un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. Suma de I entran = Suma de que I salen.

• Ley de las mallas: en toda malla la suma algebraica de las tensiones (f.e.m) de todas las fuentes de tensión y de todas las caídas de tensión (I .R) es igual a cero. Suma de (f.e.m) + Suma (I.R) = 0. Esta ley también puede expresarse de la siguiente forma; la suma de las tensiones de todas las fuentes de tensión (teniendo en cuenta la polaridad de cada fuente) es igual a la suma de todas las caídas de tensión en las resistencias. Suma de (f.e.m) = Suma de(I.R).

Ahora enunciaré una serie de normas para aplicar estas leyes y seguidamente realizaremos un ejercicio.

Antes de nada debemos determinar el número de mallas del circuito. En muchos circuitos con tan solo echar una ojeada se puede apreciar no obstante en circuitos más complejos nos puede resultar de ayuda la siguiente expresión:

M = R- (N-1)

M = número de mallas.
R = número de ramas.
N = número de nudos.

Procederemos de la siguiente forma:

A) Aplicaremos tantas veces la ley de los nudos como nudos existan menos uno.
B) Aplicaremos tantas veces la ley de las mallas como mallas existan.
C) Si al aplicar la ley de las mallas en alguna no existiese f.e.m. se igualará a cero.
D) Indicaremos una misma dirección para todas las fuerzas electromotrices existentes en el circuito.
E) Se indicará de forma totalmente arbitraria las direcciones de las distintas intensidades que circulan por las ramas y además se numerarán.
F) Se indicará un sentido de giro arbitrario y que tomaremos como positivo.
G) Todas las fuerzas electromotrices e intensidades cuyas direcciones coincidan con el sentido de giro del punto anterior se tomarán como positivas en caso contrario, negativas.
H) Al resolver el sistema de ecuaciones, además de darnos el valor de las incógnitas, es decir, el valor de las intensidades, nos da un signo, si este es positivo el sentido de la intensidad es el correcto según hemos aplicado el punto E, si el resultado fuese negativo nos indica que el sentido de la corriente no es el correcto que es el contrario al que hemos aplicado.

Tenemos el siguiente circuito:

Así pues, aplicamos las leyes de Kirchhoff:



M = R – (N-1) = 3 – (2-1) = 2 mallas

Nudo A: I+I1+I2 = 0

Malla I que se corresponde con los puntos ARBA

E1 = I1.(r1+R1) – IR
10 = I1 .(2+8) - I.20

Malla II que se corresponde con los puntos AR2BA

-E1+E2 = - I1.(r1+R1) + I2.(R2+r2)
-10 + 90 = - I1.(2+8) + I2.(7+3)
80 = -10.I1+10.I2

De la ecuación del nudo A: I = - I1- I2, lo sustituimos en la ecuación de la malla I:

10 = 10. I1 – 20 (- I1- I2)

10 = 30.I1+20.I2

Con lo cual el sistema de ecuaciones será:

80 = - 10.I1+10.I2
10 = 30.I1+20.I2

La primera ecuación la multiplicamos por – 2

- 2 . (80 = - 10.I1+10.I2) = - 160 = 20.I1- 20.I2

- 160 = 20.I1- 20.I2
10 = 30.I1 +20.I2
__________________
- 150 = 50.I1

I1 = - 150/50 = - 3 A

El signo negativo nos indica que el sentido adoptado de forma arbitraria es errónea, por tanto, su sentido es el contrario.

Sustituimos:

10 = 30.I1+20.I2
10 = 30. – 3 + 20. I2
10 = -90 + 20. I2

I2 = 100/20 = 5 A Al ser positivo el resultado el sentido adoptado al principio del ejercicio es el correcto.

I = - I1- I2 = 3 – 5 = - 2 A Igual que comentamos anteriormente el signo negativo nos indica que el sentido de esta intensidad es el contrario al adoptado.

El circuito queda finalmente así:


En la próxima entrada pondré como resolver este tipo de ejercicios mediante determinantes.

3 comentarios:

LópezJennifer dijo...

Gracias ^_^

Anónimo dijo...

hola porque en la 1º ecuacion se multiplica por -2,gracias

JORGE LASCANO dijo...

me agrado mucho la informacion de este blog en especial la parte que nos muestra como resolver el circuito, gracias saludos.